Matemática

Módulo mostra o valor absoluto de um número

José Luiz Pastore Mello*

Especial para a Folha

Analisando a prova de matemática da Fuvest realizada na primeira fase de 2000, podemos avaliar quais os conteúdos que não foram abordados e que poderão servir de roteiro para o início de uma revisão preparatória para a segunda fase.

Esses conteúdos são: inequações em geral, módulo, matrizes, determinantes, discussão de sistemas lineares, exponenciais e probabilidade. Examinaremos os procedimentos algébricos para a resolução de equações modulares simples.

Se meu saldo bancário é de -R$ 200 e o seu, de -R$ 100, quem deve mais dinheiro ao banco? Sem a menor dúvida, minha dívida é maior que a sua, mas por que aprendemos com a ordenação dos números inteiros que -200 é menor que 100?

Ocorre que, na situação do saldo bancário, não estamos interessados em ordenar os números -200 e -100, mas, sim, em compará-los em valor absoluto, ou seja, em "tamanho". Para resolver problemas em que queremos comparar dois números sem levar em consideração o seu sinal usamos a notação: |- 200| 0= 200 (lê-se: módulo de -200 é igual a 200).

Definindo ainda que o módulo de um número positivo é o próprio número, temos que |200| = 200. Vejamos alguns exemplos para tornar isso mais claro. Qual seria a solução da equação |x| = 5? Como definimos |-5| = 5 e |5| = 5, segue que x pode ser 5 ou -5.

E a solução da equação |x -3| = 8? Fácil: basta impor que x - 3 seja igual a 8 ou que x - 3 seja igual a -8, o que resulta em x = 11 ou x = -5.

Veja que dentro das barras que representam o módulo podemos colocar diversas expressões, mas a mecânica da resolução será sempre a mesma. Fique atento, porque uma equação modular pode não ter solução, como é o caso das equações |x + 1| = -3 e |x + 2| = x.

No primeiro exemplo, a equação não tem solução porque o módulo de um número não pode ser igual a um número negativo. No segundo caso, como procedimento para resolver a equação, deveríamos impor que x + 2 = x ou x + 2 = -x, mas a primeira equação não tem solução, e a segunda tem uma inválida (x = -1), pois esse valor de x implicaria |1| = -1, o que não existe pelo mesmo motivo do primeiro exemplo.

Veja outra equação modular que sugere uma mudança de variável: |x|² + 2 |x|-15 = 0. Se mudarmos a variável |x| para y, teremos a equação quadrática y2 + 2 y - 15 = 0, cujas soluções são y = 3 e y = -5. Fazendo a volta da variável teremos: |x| = 3, que implica x = 3, e |x|= -5, que não possui solução. Segue que as únicas soluções da equação são 3. Deixaremos as inequações modulares para um outro artigo. *José Luiz Pastore Mello é mestre em ensino de matemática pela USP e professor do Colégio Santa Cruz

José Luiz Pastore Mello*

Especial para a Folha

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