Matemática -

Quem é que nunca saiu de uma extenuante aula sobre logaritmos com a dúvida: mas, afinal, para que servem mesmo os logaritmos?

Para que você tenha uma idéia da importância dos logaritmos, sua invenção na primeira metade do século 17 representou para a astronomia e para a navegação algo próximo do que representa hoje o computador para essas áreas.

A idéia básica dos logaritmos é a de transformar operações aritméticas complicadas, como potenciação e radiciação, em operações mais simples. Antes de falarmos desse alcance dos logaritmos, vamos compreender melhor seu significado.

Qual o expoente que devemos colocar no número 2 para que o resultado obtido seja 8? Sem mistério, você deve ter respondido que o expoente é 3 porque 23=8. Duas novas perguntas: quais os expoentes que devemos colocar no número 4 para obtermos 0,25 num caso e 2 em outro?

a resposta deve ser

Nesses exemplos, acabamos de calcular três logaritmos, que são os "expoentes" encontrados em cada um dos casos. Dizemos, por exemplo, que log28=3 porque 23=8. No passado, o cálculo de expoentes em expressões mais complicadas do que essas era feito usando tabelas de logaritmos especialmente construídas para esse fim. Hoje em dia, quando precisamos em situações práticas de um logaritmo mais complicado, usamos uma calculadora para encontrar o seu valor.

A praticidade dos logaritmos justifica-se por suas propriedades operatórias, cujas demonstrações se encontram na maioria dos livros sobre o assunto. Respeitadas as devidas condições para a, b, e c, são elas:

P.1 logca+logcb=logc(a x b)
P.2 logca-logcb=logc(a / b)
P.3 logcab=b x logca

Vamos verificar a aplicação de uma propriedade no seguinte problema: Uma cultura de cem bactérias dobra de tamanho a cada hora. Dado que log20,3, em quantas horas aproximadamente teremos uma cultura de 1 milhão de bactérias?

Observe que o problema consiste em resolver a equação 100 x 2 2=1.000.000, ou, de maneira mais simples, 2x=10.000.

Como não é tarefa fácil encontrar o expoente que resolve essa equação, vamos aplicar logaritmo de base 10 em ambos os lados da igualdade para calcular X. Segue que:

como logaritmo de 10 na base 10 é igual a 1, temos que

Concluímos então que, em pouco mais de 13 horas, teremos uma cultura com 1 milhão de bactérias.

*José Luiz Pastore Mello é mestre em ensino de matemática pela USP e professor do Colégio Santa Cruz