Matemática

Determinante é um número associado a uma matriz quadrada

José Luiz Pastore Mello*

Especial para a Folha

Quase toda aula introdutória sobre determinantes se inicia com a célebre frase: "Determinante é um número associado a uma matriz quadrada, vamos aprender a calcular um determinante ...".

Poucas aulas depois, você já está sabendo calcular determinantes de matrizes 2x2, 3x3 (regra de Sarrus) e até de uma matriz nxn (teorema de Laplace) sem ao menos ter entendido direito qual o significado do tal "número associado a uma matriz". Será que podemos dar alguma interpretação para esse número?

Um determinante de uma matriz 2x2 pode ser interpretado como a área orientada de um paralelogramo. Entendemos por "orientação" um determinado sentido na escolha da ordem dos lados do paralelogramo para compor a matriz 2x2 (sentido horário ou anti-horário).

Na figura acima, escolhemos o sentido anti-horário de orientação a partir do ponto P(1,2). A matriz 2x2, cujo determinante será a área orientada desse paralelogramo, terá sua primeira coluna formada pelas coordenadas do ponto Q do paralelogramo "em relação" à origem da orientação, ou seja, em relação a P(1,2). A segunda coluna da matriz será formada pelas coordenadas do ponto R, também em relação à origem P(1,2):

No mesmo sentido de orientação, poderíamos também calcular a área do paralelogramo usando os pontos R e S em relação ao ponto P(1,2):

Usando um sentido de orientação contrário ao adotado, obteríamos o mesmo valor para o determinante, porém com sinal trocado. Podemos dizer então que, em valor absoluto, o cálculo do determinante de uma matriz 2x2 está associado à área de um paralelogramo.

No caso de uma matriz 3x3, pode-se demonstrar usando álgebra linear que o determinante da matriz está associado ao volume orientado de um paralelepípedo. *José Luiz Pastore Mello é mestre em ensino de matemática pela USP e professor do Colégio Santa Cruz

José Luiz Pastore Mello*

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