Matemática -

Se você é um patinador ou skatista e se interessa em saber qual deve ser o formato de uma rampa para que se atinja a maior velocidade possível indo do ponto mais alto para o mais baixo com os patins ou o skate, o artigo de hoje pode esclarecer-lhe o problema.

Ao que tudo indica, Galileu foi o primeiro a estudar mais detalhadamente uma curva com tal propriedade, conhecida hoje como ciclóide.

Para construir uma ciclóide, fure um bambolê de modo que nele se possa encaixar um giz. Em seguida, gire (sem escorregar) o bambolê sobre uma reta, fazendo com que o giz deixe uma marcação sobre uma superfície de fundo. Pronto: a curva marcada pelo giz é uma ciclóide (veja a figura 1) ou, se preferir, uma rampa de maior velocidade possível quando observada com a concavidade para cima.

A dedução da função cuja representação gráfica seja a ciclóide está ao alcance de um estudante do ensino médio, mas exigirá do leitor concentração e atenção. Vamos lá!

As coordenadas de um ponto P qualquer de uma ciclóide podem ser determinadas em função do ângulo alfa, como indica a figura 2. Observe que o ponto P tem coordenadas x=AE e y=AC.

Sendo r o raio da circunferência girada para determinar a ciclóide, aplicando as definições de seno alfa e cosseno de alfa no triângulo PQD, segue que PD=EB= r.sen alfa e DQ=CE= r.cos alfa. Admitindo que a ciclóide se inicia quando P está na origem do plano cartesiano, podemos afirmar que o comprimento do segmento AB sobre o eixo x é igual ao comprimento do arco PB sobre a circunferência (sendo alfa dado em radianos, podemos dizer então que AB=alfa.r). Como AE=AB-EB, temos que AE= alfa.r - r.sen alfa ou ainda que AE=r( alfa - sen alfa). Sendo AC=AE-CE, teremos AC=r - r.cos alfa ou ainda AC=r(1 - cos alfa). Por fim, podemos dizer então que as coordenadas de um ponto P qualquer de uma ciclóide são tais que x=r(alfa - sen alfa) e y=r(1 - cos alfa), com alfa sendo dado em radianos.

Fato notável que também merece registro: a ciclóide, além de ser a curva dos "tempos mínimos", também é a curva dos "tempos iguais". Dois skatistas que partam de alturas diferentes da rampa em relação ao solo chegarão ao mesmo tempo no ponto mais baixo. *José Luiz Pastore Mello é mestre em ensino de matemática pela USP e professor do Colégio Santa Cruz