Questão 6 olimpíada matemática 2009 fase 2 nível 3
Uma folha de papel retangular ABCD de 12 cm por 16 cm (figura 1) é cortada ao longo da diagonal AC (figura 2). O triângulo ABC é dobrado pelo segmento BM (figura 3), sendo M o ponto de encontro das diagonais do retângulo ABCD. Finalmente, é feita uma dobra ao longo de MP, onde P é escolhido de modo que CM coincida com AM (figura 4).
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(a) Explique porque o ângulo BMP na figura 4 é reto.
(b) Mostre que o triângulo BMP da figura 4 é semelhante ao triângulo ABC da figura 2.
(c) Calcule a área do triângulo BMP da figura 4.
(d) Calcule a área do quadrilátero ABMP da figura 4.
Resposta:
Para facilitar a exposição, vamos denotar por A' a posição do ponto A após a segunda dobra.
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a) A figura 4 mostra que A'MP = CMP (ou seja, P foi escolhido de modo que MP é a bissetriz de AMC), e segue que A'MC = 2 x A'MP (conforme figura 3). Por outro lado, temos AMB = A'MB , donde AMA' = 2 x A'MB . Logo
180o = AMA' + A'MC = 2 x A'MB + 2 x A'MP = 2(A'MB + A'MP) = 2 x BMP
e segue que BMP = 90o .
b) (figura 1) Lembramos que as diagonais de um retângulo são iguais e se interceptam em seu ponto médio; no nosso caso, temos BM = AM = CM . Segue que o triângulo BMC é isósceles e concluímos que MBC = MCB = ACB. Logo os triângulos retângulos ABC e PMB têm um ângulo (agudo) em comum, ou seja, eles são semelhantes.
Aqui fazemos um reparo ao enunciado deste item na prova. Em geral, ao falar da semelhança de triângulos, deve-se listar os vértices na ordem que indica a correspondência correta. No nosso caso, o enunciado deveria ser "mostre que os triângulos PMB e ABC são semelhantes", de vez que os ângulos em M e B do triângulo PMB são iguais aos ângulos em B e C do triângulo ABC, respectivamente. O Comitê de Provas pede desculpas por esta incorreção.
c) Como os triângulos PMB e ABC são semelhantes, a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão entre lados correspondentes. Como vimos acima, temos BM = AM = CM , ou seja, 
. Por outro lado, o teorema de Pitágoras no triângulo ABC (figura 1) nos dá 
; logo BM = 10 , e segue que a razão de semelhança dos triângulos BMP e ABC é 
. Denotando a área do triângulo BMP por (BMP) (e similarmente para outras figuras a seguir) temos 
.
d) Desdobrando a figura 4, segue que (A'BMP) + (BMP) = (ABC). Logo
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