Resposta:

(a) A figura abaixo mostra duas soluções para o problema.
 

(b) 1^a solução: A figura do enunciado mostra que ao traçar as cinco diagonais do pentágono obtemos 10 triângulos e um novo pentágono central. A repetição desse processo n vezes (pensamos na repetição de 0 vezes como não tendo feito nada) tem como resultado 10n triângulos e um pentágono central, que podemos dividir em 3, 5, 7, 9, ou 11 triângulos como mostrado no enunciado.
 

Desse modo, podemos triangular legalmente o pentágono em 10n + r triângulos onde r pode ser 1, 3, 5, 7 ou 9; como qualquer número ímpar se escreve dessa forma segue que podemos triangular legalmente o pentágono em qualquer número ímpar de triângulos. Por exemplo, para triangular legalmente o pentágono em 229 triângulos escrevemos 229 = 10 x 22 + 9 , efetuamos o processo de divisão por diagonais 10 vezes e finalmente dividimos o pentágono central em 9 triângulos.

2^a solução: A figura I acima mostra uma divisão do pentágono em sete triângulos, onde destacamos uma parte em traço mais grosso. Podemos dividir legalmente essa parte de modo a gerar dois triângulos adicionais, como na figura II. Esse processo pode ser repetido na parte análoga destacada nessa última figura, gerando mais dois triângulos e outra figura análoga onde o processo pode ser repetido novamente, e assim por diante gerando dois novos triângulos em cada etapa. Isso mostra que, começando de uma triangulação com 7 triângulos, podemos obter qualquer número ímpar de triângulos.
 

(c) 1^a solução: Consideremos um pentágono triangulado legalmente, e sejam n o número de triângulos e m o número de pontos legais interiores dessa divisão. A soma dos ângulos de todos os triângulos é 180n graus. Por outro lado, essa soma é igual à soma dos ângulos em volta dos pontos legais interiores mais a soma dos ângulos internos do pentágono, ou seja, é igual a 360m + 540 graus. Logo 180n = 360n + 540 , ou seja, n = 2m + 3 que é um número ímpar.
Exemplificamos essa demonstração com a figura abaixo, onde n = 7 e m = 2.
 

2^a solução: Consideremos como acima um pentágono triangulado legalmente em n triângulos, e seja m o número total de lados desses triângulos. Ao contar os lados desses triângulos um por um, teremos dois casos: (i) contar um lado comum a dois triângulos e (ii) contar um dos lados do pentágono. No primeiro caso, cada lado é contado duas vezes; no segundo caso temos apenas os lados do pentágono. Obtemos então , como m e n são números inteiros segue que também é inteiro, ou seja, 3n - 5 é par, donde n é ímpar. A figura usada na solução anterior exemplifica essa demonstração no caso n = 7 e m = 13.