Questão 5 olimpíada matemática 2009 fase 2 nível 3
Dois triângulos retângulos isósceles com catetos de medida 2 são posicionados como mostra a figura 1. A seguir, o triângulo da esquerda é deslocado para a direita. Nas figuras 2 e 3, x indica a distância entre os vértices A e B dos dois triângulos.
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Para cada x no intervalo Ύ,4], seja f (x) a área da região comum aos dois triângulos (em cinza nas figuras).
(a) Calcule f (1) e f (3).
(b) Encontre as expressões de f nos intervalos Ύ,2] e ΐ,4] e esboce o seu gráfico.
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(c) Qual é a área máxima da região comum aos dois triângulos?
Resposta:
O argumento geral para a resolução desta questão está ilustrado abaixo.
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O triângulo ABC é um dos triângulos resultantes do corte do quadrado, e D é um ponto qualquer no lado AB. Fazendo DE perpendicular a AB, o triângulo ADE também é retângulo de lados iguais, e sua área é igual a metade da área do quadrado ADEF; a área do triângulo ADG é então igual a1/4 da área do quadrado ADEF.
a) Quando x = 1, a figura formada pela formado pela sobreposição dos triângulos maiores é um triângulo menor, indicado em cinza na figura abaixo. A observação acima mostra que sua área é a quarta parte da área de um quadrado de lado 1, isto é, f(1) = 1/4.
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Quando x = 3 , a figura formada pela sobreposição dos dois triângulos é um pentágono, como na figura abaixo.
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Como os triângulos têm catetos de medida 2 e AB = 3 , vemos que os catetos se sobrepõem em um segmento de medida 1. Logo o pentágono é a união de um quadrado de lado 1 e um triângulo idêntico ao que consideramos no início desta questão. Logo f(3) = 1 +1/4 = 5/4.
b) Para valores de x tais que 0 ≤ x ≤ 2, a figura formada pela sobreposição dos triângulos é o triângulo em cinza abaixo, donde f(x) x2/4 = 1 +1/4 = 5/4 para 0 ≤ x ≤ 2, conforme observação inicial.
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Quando 2 < x ≤ 4, a figura é um pentágono, como ilustrado abaixo.
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Temos então AC + CD = 2 = BD + CD
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ou seja, CD = 4 - x; logo AC = BD = 2 - (4 - x) = x - 2. Vemos assim que o pentágono pode ser decomposto em um retângulo CDFE de base 4 - x e altura CE = C = x - 2 e um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa 4 - x. Segue que para 2 < x ≤ 4 temos
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Notamos que esta última expressão também assume o valor 1 para x = 2. Em resumo, temos
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Notamos também que f (4) = 0 (como era de se esperar). O gráfico de f está esboçado a seguir; nele marcamos os valores calculados no item anterior, bem como outros valores importantes para a resolução do item (c).
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c) A observação direta do gráfico mostra que o valor máximo da função no intervalo Ύ,2] é f (2) = 1. Resta analisar a função no intervalo ΐ,4] . Esquecendo por um momento que estamos neste intervalo, vamos considerar a função quadrática 
definida para todo número real x; ela é da forma f(x) = ax2 + bx + c com 
, b = 4 e c = -4 . Como a < 0, ela assume um valor máximo para 
e seu valor neste ponto é 
(podemos também calcular diretamente 
). Uma vez que 8/3 pertence ao intervalo ΐ,4] , segue que o máximo de f neste intervalo é 4/3, e como 4/3 > 1 concluímos que este é o valor máximo de f no intervalo Ύ,4].
