Questão 4 olimpíada matemática 2009 fase 2 nível 3
Quatro times, entre os quais o Quixajuba, disputam um torneio de vôlei em que:
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• cada time joga contra cada um dos outros uma única vez;
• qualquer partida termina com a vitória de um dos times;
• em qualquer partida os times têm a mesma probabilidade de ganhar;
• ao final do torneio, os times são classificados em ordem pelo número de vitórias.
(a) É possível que, ao final do torneio, todos os times tenham o mesmo número de vitórias? Por quê?
(b) Qual é a probabilidade de que o torneio termine com o Quixajuba isolado em primeiro lugar?
(c) Qual é a probabilidade de que o torneio termine com três times empatados em primeiro lugar?
Resposta:
Resposta: a) O número total de partidas disputadas no torneio é 3 + 2 + 1= 6 . Como 6 não é divisível por 4, o torneio não pode acabar com os quatro times tendo o mesmo número de vitórias.
b) 1a solução: Para que o Quixajuba termine isolado em primeiro lugar, ele deve ganhar todas as suas partidas. De fato, se ele ganhar duas ou menos então os outros três times dividirão pelo menos quatro vitórias entre si, e assim algum deles deve ter pelo menos duas vitórias; nesse caso, o Quixajuba não seria o campeão isolado. Para cada um dos três jogos entre os outros times há duas possibilidades. Logo, o número de maneiras do Quixajuba terminar sozinho em primeiro lugar é 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 = 8. Como há 26 = 64 resultados possíveis para as seis partidas, a probabilidade de o Quixajuba ser o campeão isolado é 8/64 = 1/8.
1a solução: Argumentamos como acima que o Quixajuba será o campeão isolado se e somente se ele vencer suas três partidas. Como a probabilidade de o Quixajuba ganhar um jogo contra qualquer dos outros times é 1/2, a probabilidade de ele ganhar suas três partidas é 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8.
c) Suponhamos que os times sejam A, B, C e D e que o torneio termine com D isolado em último lugar. Então D perdeu todas suas partidas; de fato,
• se D tivesse ganho suas três partidas, teria terminado o torneio em primeiro lugar (como vimos no item anterior);
• se o D tivesse ganho duas (ou uma) partidas, os outros times dividiriam quatro (ou cinco) vitórias entre si; neste caso, pelo menos um deles teria ganho no máximo uma partida e assim D não teria ficado em último lugar isolado.
Logo A, B e C dividem entre si as seis vitórias, ou seja, cada um deles ganhou duas vezes; uma contra D e uma contra um dos outros. Para as partidas entre A, B e C temos apenas duas possibilidades: A ganhou de B que ganhou de C ou A ganhou de C que ganhou de B. Em resumo, há apenas duas possibilidades para que A, B e C dividam a liderança, e neste caso D acaba o torneio em último lugar isolado.
Como qualquer um dos times pode acabar em último lugar isolado, enquanto os outros dividem a liderança, segue que o número de possibilidades para que isto aconteça é 4 x 2 = 8. Por outro lado, o número total de possibilidades para os resultados das seis partidas é 26 = 64 . Logo a probabilidade de que três times dividam a liderança é 8/64 = 1/8.
