Questão 3 olimpíada matemática 2008 fase 2 nível 3
Na figura, o triângulo ABC e o retângulo PQRS têm a mesma área e a mesma altura 1. Para cada valor de x entre 0 e 1 desenha-se o trapézio ABED de altura x e depois o retângulo PQNM de área igual à do trapézio, como na figura. Seja f a função que associa a cada x a altura do retângulo PQNM.
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(a) Qual é a razão entre AB e PQ?
(b) Qual é o valor de 
(c) Ache a expressão de f (x) e desenhe o gráfico de f.
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Resposta:
a) Sejam m e n, respectivamente, as medidas das bases do triângulo ABC e do retângulo PQRS, como na figura. Como a altura destas figuras é 1, segue que área 
e área (PQRS) = n. Da igualdade destas áreas segue 
, donde 
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b) Quando 
os pontos D e E coincidem com os pontos médios T e U dos lados AC e BC, respectivamente. Se V é o ponto médio do lado AB, podemos decompor o triângulo ABC em quatro triângulos congruentes, como na figura. Assim Quando 
, e então,
donde 
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c) Vamos primeiro calcular a área do trapézio ABED em função de x. Como DE é paralela a AB, os triângulos DEC e ABC são semelhantes; a razão de semelhança é a razão de suas alturas, que é 
. Como áreas de figuras semelhantes estão entre si como o quadrado da razão de semelhança, segue que 
.
Logo
.
Da igualdade das áreas de ABC e PQMN, segue que (2x - x2)n = f(x) n
e concluímos que f(x) = 2x - x2. A figura a seguir mostra o gráfico de f(x) para 0 ≤ x ≤1.
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