Questão 3 olimpíada matemática 2007 fase 2 nível 3
Os times A, B, C, D e E disputaram, entre si, um torneio de futebol com as seguintes regras:
• o vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha nada;
• em caso de empate cada um dos times ganha 1 ponto;
• cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros.
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O campeão do torneio foi o time A, seguido na classificação por B, C, D e E, nessa ordem. Além disso
• o time A não empatou nenhuma partida;
• o time B não perdeu nenhuma partida;
• todos os times terminaram o torneio com números diferentes de pontos.
(a) O time A ganhou, perdeu ou empatou sua partida contra o time B? Por quê?
(b) Com quantos pontos o time A terminou o torneio? Por quê?
(c) Explique porque o time B obteve um número par de pontos nesse torneio.
(d) Na tabela, cada coluna representa uma partida. Sabendo que ocorreram exatamente 5 empates nesse torneio, desenhe, em cada coluna da tabela, um círculo em volta do nome do time ganhador ou em volta do "x", em caso de empate.
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Resposta:
(a) O time B não perdeu nenhuma partida, logo empatou ou ganhou de A. Mas Anão empatou nenhuma partida, logo A perdeu de B.
(b) O time A perdeu uma partida. Se tivesse perdido exatamente mais um jogo, teria 6 pontos. Mas B tem no mínimo 6 pontos, pois venceu A e não perdeu nenhuma das outras três partidas. Como A tem mais pontos que B, concluímos que A perdeu somente para B; e como A não empatou nenhuma partida, venceu as outras três. Logo A obteve 9 pontos.
(c) 1a solução: Como o time B não perdeu para nenhum outro time, ele ganhou 1 ou 3 pontos em cada partida, isto é, sempre um número ímpar de pontos. Como a soma de quatro números ímpares é par, vemos que B terminou o torneio com um número par de pontos.
2a solução: Como ficou em segundo lugar, o time B fez menos do que 9 pontos, portanto venceu uma ou duas partidas. Como ele jogou quatro partidas, se venceu uma delas então empatou três, finalizando com 6 pontos; se venceu duas então empatou duas, finalizando com 6 pontos. Logo, as possibilidades para o número de pontos que B obteve nesse torneio são 6 e 8, ambos números pares.
(d) De acordo com os itens anteriores, A perdeu de B e venceu C, D e E. Dos 6 jogos restantes, 5 foram empates. Se B tivesse só 2 empates, então todos os jogos entre C, D e E seriam empates e os dois desses times que empataram com B terminariam empatados, o que contraria o enunciado. Logo, os três jogos de B contra C, D e E foram empates. Como houve um total de 5 empates, 2 dos jogos entre C, D e E foram empates. Como a ordem de classificação é C, D, E, a única vitória foi de C contra E. Temos, assim, a tabela de resultados abaixo.
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