Questão 2 olimpíada matemática 2009 fase 2 nível 3
Um número inteiro n é simpático quando existem inteiros positivos a, b e c tais que a < b < c e n = a2 + b2 - c2. Por exemplo, os números 1 e 2 são simpáticos, pois 1 = 42 + 72 - 82 e 2 = 52 +112 - 122.
(a) Verifique que (3x+ 1)2 + (4x+ 2) 2 - (5x+ 2) 2 é igual a 2x +1, qualquer que seja x.
(b) Encontre números inteiros m e n tais que (3x- m)2 + (4x - n)2 - (5x- 5)2 = 2x, qualquer que seja x.
(c) Mostre que o número 4 é simpático.
(d) Mostre que todos os números inteiros positivos são simpáticos.
Resposta:
a) Lembrando que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , podemos simplificar a expressão (3x + 1) 2 + (4x + 2)2 - (5x + 2) 2 como segue:
(3x + 1)2 + (4x + 2)2 - (5x + 2)2 = 9x2 + 6x + 1 + 16x2 + 16x + 4 - 25x2 - 20x - 4 = (9 + 16 - 25)x2 + (6 + 16 - 20) x + (1 + 4 - 4) = 2x + 1.
b) Aqui temos:
(3x - m)2 + (4x - n)2 - (5x - 5) 2 = - (6m + 8n - 50) x + (m2 + n2 - 25) = 2x
e desse modo devemos encontrar inteiros m e n tais que m2 + n2 - 25 = 0 e -(6m + 8n - 50) = 2 , isto é, m2 + n2 = 25 e 3m + 4n = 24 . A primeira equação (que também pode ser obtida pela substituição x = 0 na identidade) tem as possíveis soluções em números inteiros:
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Verificação direta mostra que apenas os valores m = 4 e n = 3 satisfazem a segunda equação. c) Do enunciado temos 42 + 72 - 82 = 1. Multiplicando esta expressão por 22, obtemos 22 x 42 + 22 x 72 - 22 x 82 = 4 , ou seja, 82 +142 -162 = 4 , o que mostra que 4 é simpático. Outras expressões são 4 = 52 +102 -112 = 62 + 72 - 92 = 72 + 222 - 232 e, mais geralmente, 4 = (3k + 4) 2 + (4k + 2) 2 - (5k + 4)2 para k > 2.
d) Vamos dividir o argumento para números ímpares e pares.
Números ímpares: seja n = 2k +1 um número ímpar maior que 1, ou seja, com k > 0 . O item (a) mostra que fazendo a = 3k + 1, b = 4k + 2 e c = 5k + 2 temos n = a2 + b2 - c2. Notamos que a < b < c segue de k > 0. Como já sabemos que 1 é simpático, segue que todo número ímpar positivo é simpático.
Números pares: seja n = 2k um número par maior que 4, ou seja, com k > 2. Aqui o item (b) mostra que fazendo a = 3k - 4, b = 4k - 3 e c = 5k - 5 temos n = a2 + b2 - c2. Notamos que a < b < c; de fato, a < b vem do fato de k ser positivo e b < c decorre de k > 2. Como já sabemos que 2 e 4 são simpáticos, segue que todo número par positivo é simpático. Concluímos então que todos os inteiros positivos são simpáticos.
Uma curiosidade aqui é uma fórmula geral (entre outras) que mostra que todo número positivo n é simpático:
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