Resposta:

Para facilitar a escrita desta solução, vamos nos referir aos pontos do quadriculado como pontos legais.
 

a) Observando a figura acima, vemos que o quadrado B pode ser inscrito em um quadrado que consiste de 9 quadradinhos. A parte fora do quadrado B pode ser decomposta em quatro triângulos iguais (em cinza claro). Cada triângulo é a metade de um retângulo feito de dois quadradinhos; a área de cada um desses triângulos é então igual a 1 cm². Logo a área do quadrado B é 9 - 4=5 cm². Podemos também argumentar que o quadrado B foi decomposto em um quadradinho e quatro triângulos de área 1 cm², donde sua área é 1+4=5 cm².
Alternativamente, podemos calcular o lado PR do quadrado observando o triângulo retângulo PQR na figura. Seus catetos são PQ e QR, de medidas 1 e 2, respectivamente. Pelo teorema de Pitágoras, temos
 

e segue que a área do quadrado é .

b) Queremos desenhar um quadrado legal de área 13 cm²; seu lado deve então medir . Observando a segunda solução apresentada no item (a), vemos que o lado deve ser a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos de comprimentos a e b que são números inteiros e tais que a² +b² =13 . Podemos então escolher a = 3 e b = 2 (a única solução, a menos de trocar os valores de a e b) e construir nosso quadrado de área 13 cm² como, por exemplo, indicado na figura abaixo.
 

c) Se existe um quadrado legal de área n, então seu lado é medir ; para construir um segmento deste comprimento devemos, como no item anterior, encontrar inteiros a e b tais que a² + b² = n. Para 41 não há problema, pois 41 = 4² + 5²; mas para 43 isto é impossível, como se pode ver por listagem direta. De fato, como 7² =49 ultrapassa 43, devemos testar apenas se 43 se escreve como soma de dois quadrados dos números de 1 a 6, o que não acontece pois 43 - 1² = 42 , 43 - 2² = 39 , 43 - 3² =34 , 43 - 4² = 27, 43 - 5² =18 e 43 - 6² =7 não são quadrados perfeitos. Logo é possível construir um quadrado legal de área 41 cm², mas não é possível construir um de área 43 cm².

d) 1^a solução: A figura abaixo mostra um quadrado legal em cinza e a construção de um novo quadrado, em traço mais grosso, de área igual ao dobro da área do quadrado original.
 

Notamos que como os vértices do quadrado original são pontos legais então os vértices do quadrado maior também são pontos legais. Para justificar esta última afirmativa, basta notar que se A e B são pontos legais e C é o simétrico de A com relação a B (como na figura abaixo) então C também é um ponto legal. Desse modo, o novo quadrado também é legal.
 

2^a solução: Como vimos em (b), se um quadrado legal tem área n então n = a² + b² para alguns inteiros a e b; reciprocamente, se n = a² + b² para alguns inteiros a e b então existe um quadrado legal de área n. Como (a - b)² + (a + b)² = 2(a² +b²) vemos que um triângulo retângulo de catetos a - b e a + b terá hipotenusa 2n ; o quadrado construído sobre esta hipotenusa terá área (em outras palavras, mostramos que se n é soma de dois quadrados inteiros então 2n também o é). Usando este fato, ilustramos na figura abaixo uma construção de um quadrado legal de área 2n (o quadrado grande em linha contínua) a partir de um quadrado legal de área n (o quadrado pequeno em linha contínua, o quadrado pontilhado serve apenas para indicar os sentidos horizontal e vertical). Notamos, como antes, que como o quadrado original é legal então todos os pontos indicados são legais.