Questão 2 olimpíada matemática 2007 fase 2 nível 3
A figura mostra a planta do quarto do Pinhão. Todos os ângulos entre paredes são retos e a porta tem 90 cm de largura. Nessa questão, não consideramos a espessura das paredes.
(a) Uma lâmpada foi colocada no teto, na posição indicada na figura.
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Desenhe na planta a parte do chão que não será iluminada diretamente por essa lâmpada e calcule a área dessa parte.
(b) A cama do Pinhão mede 2,00 m por 1,60 m e foi colocada na posição indicada na figura abaixo.
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Nessa situação, é possível abrir a porta sem que ela toque na cama? Por quê?
Resposta:
(a) Consideremos a figura do enunciado com os vértices rotulados como abaixo.
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Uma vez que a luz se propaga em linha reta, o triângulo CDF (sombreado na figura) corresponde à área do chão que não será iluminada pela lâmpada. O triângulo CDF é semelhante ao triângulo ABC e a razão de semelhança é 
. Como a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é o quadrado da razão de semelhança, segue que
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Alternativamente, podemos calcular os lados do triângulo CDF usando a semelhança dos triângulos CDF e ABC. Temos 
, logo 
e então 
, como antes.
(b) 1a solução: Consideramos a figura do enunciado, com os vértices rotulados como na figura abaixo.
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Temos PQ = 1,6 e QR = 2,0 (a figura do enunciado deixa claro que o menor lado da cama está na horizontal). Para decidir se a porta vai ou não tocar na cama, basta comparar os segmentos RT e ST. Para calcular RT, usamos o triângulo retângulo RUT representado na figura; temos RU = 0,8 e UT = 0,6, donde 
. Como ST = 0,9, vemos que a porta vai passar a 10 cm da cama.
2a solução: Podemos calcular a distância entre os pontos R e T da figura anterior colocando um sistema de coordenadas na figura anterior com origem em P, o eixo x em PQ e o eixo y na parede vertical esquerda. Nesse caso, R tem coordenadas (1,6; 2,0) e T tem coordenadas (2,4; 2,6). Logo 
O argumento final é o mesmo da solução anterior. Notamos que as duas soluções são conceitualmente idênticas, pois a fórmula da distância de dois pontos no plano é uma consequência imediata do teorema de Pitágoras.
