Resposta:

a) Primeiro notamos que é possível preencher o quadriculado de acordo com o enunciado; um exemplo está abaixo. Observamos agora que, qualquer que seja a maneira de preencher o quadriculado, o enunciado mostra que não podem aparecer números repetidos nos quadradinhos centrais, pois se houver dois números iguais eles estarão na mesma linha, ou na mesma coluna ou na mesma diagonal. Devem então aparecer os números 1, 3, 7 e 8 nesses quadradinhos, com a soma 1+ 3 = 7 = 8 = 19 .

b) Conforme observado no item anterior, nos quatro quadradinhos centrais devem aparecer os números 1, 3, 7 e 8. Segue que nos quadradinhos marcadas com x devem aparecer os números 1 e 8, o que pode ser feito de duas maneiras; a partir daí o quadriculado pode ser completado de modo único, como mostrado abaixo. Logo é possível preencher o quadriculado inicial de exatamente duas maneiras distintas.

c) 1^a solução: O problema, com letras a, b, c e d em vez números e com a diagonal já preenchida, como na figura ao lado, admite apenas duas soluções, que apresentamos abaixo.

Em ambas, a soma dos quadradinhos cinzentos é 2a + 2b + c + d. Para que essasoma seja máxima, basta escolher os dois maiores valores possíveis para as letras que aparecem multiplicadas por 2; a soma máxima é então 2 x 8 + 2 x 7 + 3 + 1 = 34.

2^a solução: Notamos primeiro que o enunciado do problema mostra que cada número aparece exatamente quatro vezes em um quadriculado corretamente preenchido. Suponhamos, como acima, o quadriculado preenchido com as letras a, b, c e d,nessa ordem, na diagonal principal. O diagrama abaixo mostra as duas únicas maneiras de distribuir os quatro a's pelo quadriculado de acordo com o enunciado. Vamos assim que, em qualquer caso, aparecem dois aa's nas casas sombreadas, e o mesmo acontece com d.

Os diagramas a seguir representam as possíveis posições dos b's; vemos assim que, em qualquer caso, aparece exatamente um b nas casas sombreadas, e o mesmo acontece com c.

Desse modo, a soma dos algarismos nas casas sombreadas é 2(a + d) + b + c , e a partir daí procedemos como na primeira solução.

3^a solução: Consideremos o quadriculado, onde x e denotam os números que aparecem nas casas correspondentes.

O mesmo argumento utilizado no início do item (b) mostra que a soma dos números que aparecem em cada um dos quadriculados 2x2 destacados é 1+ 3 + 7 + 8 = 19. Por outro lado, a soma dos números na diagonal também é 19; logo a soma dos números nas casas cinzentas dos dois quadriculados 2x2 é 2 x 19 - 19 = 19. Segue que a soma dos números nas casas cinzentas é 19 + x + y ; para que ela seja máxima, basta escolher os valores 7 e 8 para x e y, e chegamos à soma 19 + 7 + 8 = 34.