Questão 1 olimpíada matemática 2009 fase 2 nível 3
Em uma caixa foram colocados um cartão no qual está escrito o número 1, dois cartões nos quais está escrito o número 2, três cartões com o número 3 e assim por diante, até dez cartões com o número 10.
(a) Quantos cartões foram colocados na caixa?
(b) Explique como escolher 19 cartões da caixa sem que três deles tenham o mesmo número.
(c) Qual é o menor número de cartões que pode ser retirado da caixa, ao acaso, para que se tenha certeza que cinco deles têm o mesmo número? Justifique sua resposta.
Resposta:
a) O número de cartões na caixa é a soma dos números inteiros de 1 a 10, isto é, 1+ 2 + 3 +...+ 9 + 10 = 55.
b) Basta escolher o cartão de número 1 e depois dois cartões de cada um dos números de 2 a 10. No total, teremos 1+ 2 x 9 = 19 cartões, sem que haja três com o mesmo número.
c) Primeiro notamos que escolhendo o cartão de número 1, os dois de número 2, os três de número 3 e depois quatro de cada um dos números de 4 a 10, teremos um total de 1+ 2 + 3 + 4 x 7 = 34 cartões sem que cinco quaisquer tenham o mesmo número. Logo, para que tenhamos certeza que cinco cartões têm o mesmo número, é necessário escolher pelo menos 35 cartões.
Por outro lado, se escolhermos 35 cartões, podemos afirmar que pelo menos cinco deles terão o mesmo número.
De fato, se isto não fosse verdadeiro, teríamos no máximo 4 cartões de cada número. Como há apenas um cartão como número 1, dois com o 2 e três com o 3, teríamos retirado no máximo 1+ 2 + 3 + 4 x 7 = 34 cartões, o que é uma contradição. Concluímos que entre 35 cartões há, necessariamente, pelo menos cinco com o mesmo número.
