Resposta:

a) Só existe uma maneira de preencher o diagrama, como mostramos a seguir.
• O número 9 não pode ficar abaixo de nenhum número, logo deve ficar no topo.
• Acima do número 7 só podemos colocar o 9 e 8. Como o 9 já está no topo, o 8 ficará acima do 7.
• O número 6 não pode ficar abaixo do 5 nem do 2, logo ficará abaixo do 8 , ao lado do 7.
• O número 1 é o único que pode ficar abaixo do 2.
• Os números 3 e 4 devem ficar abaixo do 5, com o 3 debaixo do 4.
A sequência de figuras a seguir ilustra as etapas deste raciocínio.
 

b) 1^a solução: Primeiro vamos examinar o diagrama menor de três bolinhas marcadas pelo triângulo pontilhado.
 

Para que ele fique bem preenchido com quaisquer três números positivos distintos, o maior número deve ficar no topo e os outros dois poderão ser colocados nos dois círculos de baixo de 2 maneiras diferentes. Por exemplo, se os números forem 3, 6 e 8, podemos dispô-los das 2 maneiras ilustradas abaixo.
 

Para que o diagrama completo do problema fique bem preenchido com os números de 1 a 5, o 5 deve ficar no topo. A casa sombreada pode ser preenchida com qualquer número de 1 a 4. As três casas restantes, marcadas com o triângulo pontilhado, formam o diagrama analisado acima e poderão então ser preenchidas de 2 maneiras, com os três números restantes. Resumindo, podemos preencher o diagrama do seguinte modo:
• preenchemos o círculo do topo com o 5 : 1 possibilidade;
• preenchemos a casa sombreada com 1, 2, 3 ou 4 : 4 possibilidades;
• preenchemos as três casas que faltam com os três algarismos restantes: 2 possibilidades.
Logo o diagrama pode ser preenchido de 1 x 4 x 2 = 8 maneiras diferentes. Notamos que este raciocínio se aplica para quaisquer cinco números positivos distintos. Isto será importante na resolução do próximo item.

2^a solução: Notamos primeiro que o 5 deve sempre ocupar a bolinha de cima. O 4 deve então ocupar uma das duas bolinhas abaixo do 5, e então
• se o 4 ocupar a bolinha sombreada, o 3 deve ocupar a outra bolinha abaixo do 5, e o 1 e o 2 podem ser colocados de duas maneiras diferentes nas duas bolinhas que sobram; temos duas possibilidades neste caso;
• se o 4 ocupar a outra bolinha abaixo do 5, a casa sombreada pode ser ocupada por qualquer dos números de 1 a 3, e os outros dois números podem ser colocados nas duas últimas bolinhas vazias; neste caso temos 3 × 2 = 6 possibilidades.
Deste modo, o número de maneiras de preencher o diagrama é 2 + 6 = 8.

c) 1^a solução: Para que o diagrama fique bem preenchido com os números de 1 a 7, temos que colocar o 7 no topo. A casa sombreada pode ser preenchida com qualquer número de 1 a 6. A parte circundada pela linha pontilhada foi analisada no item (b) e pode ser preenchida com os 5 números restantes de 8 formas diferentes. Ou seja, podemos preencher o diagrama como segue:
• preenchemos o círculo do topo com o 7 : 1 possibilidade;
• preenchemos a casa sombreada com 1, 2, 3 , 4, 5 ou 6 : 6 possibilidades;
• preenchemos a parte circundada com os algarismos restantes: 8 possibilidades.
Logo o diagrama pode ser preenchido de 1 × 6 × 8 = 48 maneiras diferentes.
 

2^a solução: Notamos primeiro que o 7 deve sempre ocupar a bolinha de cima. O 6 deve então ocupar uma das duas bolinhas abaixo do 7, e então
• se o 6 ocupar a bolinha sombreada, os números de 1 a 5 devem ocupar as casas circundadas com a linha pontilhada. De acordo com o item (b), isto pode ser feito de 8 maneiras distintas.
• se o 6 deve ocupar a outra bolinha abaixo do 7, podemos colocar qualquer número de 1 a 5 na casa sombreada e distribuir os números restantes pelas quatro bolinhas ainda vazias, o que pode ser feito de 8 maneiras diferentes, de acordo com o item (b). Aqui temos 5 × 8 = 40 possibilidades.
Logo o diagrama pode ser preenchido de 8 + 40 = 48 maneiras diferentes.