Questão 1 olimpíada matemática 2007 fase 2 nível 3
A calculadora do Dodó tem uma tecla especial com o símbolo 
. Se o visor mostra um número x diferente de 2, ao apertar aparece o valor de 
.
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(a) Se o Dodó colocar 4 no visor e apertar , qual número vai aparecer?
(b) Dodó colocou um número no visor e, ao apertar , apareceu o mesmo número. Quais são os números que ele pode ter colocado no visor?
(c) Dodó percebeu que, colocando o 4 no visor e apertando duas vezes, aparece de novo o 4; da mesma forma, colocando o 5 e apertando duas vezes, aparece de novo o 5. O mesmo vai acontecer para qualquer número diferente de 2? Explique.
Resposta:
(a) Se o Dodó colocar um número x ≠ 2 no visor e apertar , aparece o valor de 
. Logo, para x = 4 , o valor que vai aparecer é 
.
(b) Seja b o número que o Dodó colocou no visor. Ao apertar , apareceu o número 
, que o enunciado nos diz que é igual a b. Logo 
, donde 2b - 3 = b(b - 2) , ou seja, b2 - 4b + 3 = 0 . Essa equação tem as raízes b = 1 e b = 3, que são os números que o Dodó pode ter colocado no visor.
(c) Seja b ≠ 2 o número que o Dodó colocou no visor. Ao apertar duas vezes, aparece o número
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É importante notar que o Dodó pode apertar uma segunda vez. De fato, a equação f(b) - 2 = 0 não tem solução, ou seja, o denominador da expressão após o primeiro sinal de igualdade acima é sempre diferente de 0. De fato, se existisse b tal que f(b) - 2 = 0 , teríamos 
e, portanto, -3 = -4 , um absurdo. Logo, ao apertar nunca aparece o 2 no visor, e é sempre possível apertar uma segunda vez.
