Arquimedes desenvolve a matemática antes dos cálculos

José Luiz Pastore Mello*
Especial para a Folha

Arquimedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C.), considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos, é notoriamente conhecido por ter antecipado uma série de resultados matemáticos muito antes do desenvolvimento do cálculo diferencial integral.

O problema dos cilindros cruzados é um bom exemplo de exercício que os matemáticos resolvem modernamente com o uso do cálculo e que Arquimedes solucionou sem essa ferramenta. Infelizmente, não temos registros do método exato usado por ele, mas discutiremos o raciocínio que provavelmente foi usado no encaminhamento da questão.

O problema consiste em determinar o volume do sólido obtido da intersecção reta de dois cilindros de raio unitário. Inicialmente, imaginaremos uma esfera de raio unitário perfeitamente colocada no interior da intersecção dos dois cilindros. Em seguida, faremos um corte dividindo ao meio os cilindros e a esfera.

Não é difícil imaginar que qualquer corte que seja paralelo ao feito e que faça intersecção com os sólidos vá determinar uma secção quadrada com um círculo inscrito.

Se imaginarmos todos essas secções empilhadas, como se fossem recortes de papel, poderemos concluir que o volume da esfera será dado pela soma de todos os recortes circulares e que o volume do sólido procurado será dado pela soma de todos os recortes quadrados.

Arquimedes deve ter intuído que a razão entre o volume do sólido procurado e o volume da esfera seria igual à razão entre a área de um quadrado e a área do círculo inscrito, o que está correto. Assumindo raio unitário e usando as fórmulas do volume da esfera e da área do círculo, concluiremos que o volume do sólido procurado será igual a 16/3.

Arquimedes achou solução equivalente afirmando que o volume do sólido seria igual a 2/3 do volume do cubo que envolve a esfera.