Confira a diferença entre média aritimética e geométrica

Antonio dos Santos Machado*
Especial para Folha de S.Paulo

Nos dois últimos anos o faturamento de uma empresa cresceu 22,5% no primeiro e 60% no segundo. Em média, quanto cresceu por ano? Ao responder essa questão, muitos pensam na média aritmética: (22,5% + 60%)/2 = 41,25%

Será que se o crescimento tivesse sido de 41,25% a cada ano, teria produzido o mesmo efeito? Pois é esta a questão que se coloca quando se pede uma média: deve ser o número que, colocado em lugar de cada número dado, produz o mesmo efeito que aqueles produziram.

Partindo de um faturamento de R$ 100, um aumento de 22,5% o eleva para R$ 122,50 e, sobre este último, um aumento de 60% o eleva para R$ 196. Repetindo o raciocínio com a média aritmética, os R$ 100 aumentados de 41,25% viram R$ 141,25, que aumentados novamente de 41,25% viram R$ 199,52 -portanto não chegando aos mesmos R$ 196.

E como resolver a questão? Que média devemos calcular?
Veja: partindo de 100 multiplicamos por 1,225 (que é 1 + 22,5%) e depois por 1,60 (que é 1 + 60%) para chegar aos 196.

O que precisamos descobrir é uma taxa t (taxa média) de modo que partindo de 100 e multiplicando por (1 + t), depois novamente por (1 + t), cheguemos aos mesmos 196. Daí, o que queremos é descobrir t na equação (1 + t) (1 + t) = 1,225 x 1,60, ou seja, (1 + t) é a média geométrica de 1,225 e 1,60.

Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros da equação obtemos 1 + t = 1,40, logo a taxa média é 40%. Confira: partindo de R$ 100, um aumento de 40% eleva para R$ 140 e com outro aumento de 40% chegamos aos R$ 196.

Recordemos: média aritmética de n números é a soma dos n números dividida por n; média geométrica de n números positivos é a raiz enésima do produto dos n números; média harmônica de n números não nulos é o inverso da média aritmética dos inversos desses números; média ponderada de n números é a soma dos produtos de cada número pelo seu peso, dividida pela soma dos pesos.

Na primeira fase do campeonato brasileiro de futebol de 1998 cada equipe realizou 23 jogos; em 1999 foram 21 jogos. Pelo regulamento deste ano, seria rebaixado o clube que tivesse a menor média de pontos nos dois campeonatos, assim calculada: 1º) toma-se a média de pontos por jogo de 1998 e a de 1999; 2º) calcula-se a média aritmética dessas duas médias. Por esse critério, um jogo de 1999 tem peso maior do que um de 1998. Por quê?

(Ao descobrir tal fato, cartolas de clubes ameaçados pelo rebaixamento já falavam em "reinterpretar" o regulamento -não pensaram antes no que estavam assinando. Vale-lhes a lição: média -é preciso saber escolher a mais conveniente...)