Entenda a matemática da dieta

José Luiz Pastore Mello*
Especial para a Folha

Vejamos por meio de um problema hipotético, como a matemática pode nos ajudar a programar uma dieta ao menor custo possível.

Sabendo que uma pessoa em dieta deve ingerir , no máximo, 20 unidades de calorias e 10 de gordura e, no mínimo, 2 unidades de vitamina, qual a melhor programação de compra dos alimentos X e Y de tal forma que a pessoa possa cumprir sua dieta ao menor custo possível sendo fornecidos os dados abaixo?

Alimento	Caloria	Gordura	Vitamina	Preço por unidade
X	4	1	1	R$ 3
Y	1	2	-	R$ 2

Vejamos inicialmente uma combinação possível de quantidades de alimentos X e Y que atendem às restrições de caloria, gordura e vitamina.

Uma alocação poderia ser a compra de duas unidades do alimento X e duas do alimento Y. Nesse caso, a pessoa não estaria ultrapassando o limite de calorias e gordura, além de estar ingerindo vitaminas dentro do limite mínimo necessário (10, 6 e 2 unidades, respectivamente). Sabemos que o gasto total nessa compra seria de R$ 10, mas não temos garantia de que a combinação escolhida de X e de Y seja a que produz o menor gasto possível.

Para encontrarmos a solução ótima do problema devemos inicialmente equacionar as restrições e, em seguida, representá-las no plano cartesiano.

Chamando de x a quantidade comprada do alimento X e de y a quantidade do alimento Y, a restrição de consumo máximo de 20 unidades de caloria pode ser expressa como 4x + y <= 20 (reflita sobre esse resultado!).

De forma análoga, podemos expressar a restrição de consumo máximo de gordura por x + 2y <= 10 e a restrição de limite mínimo de vitaminar por x>= 2.

A representação gráfica da região que atende às três restrições do problema ao mesmo tempo é a região poligonal pintada na figura.



Se houver uma única solução ótima para um problema como esse, pode-se demonstrar que ele será dada por uma dos vértices da poligonal das restrições, no caso do problema por (2,12), (2,0), (5,)) ou (30/7, 20/7). Como o preço unitário de x é R$ 3 e o de y R$ 2, basta verificar qual dos pares (x,y) minimiza o gasto total 3x + 2y. Fazendo as contas, concluímos que a compra ideal é a de duas unidades de x e zero de y totalizando uma gasto mínimo igual a R$ 6.