FGV 2007 - 1^a fase

O texto abaixo se refere às questões A, B e C. A curva de Gompertz é o gráfico de uma função expressa por N = C.A^Kt, em que A, C e K são constantes. É usada para descrever fenômenos como a evolução do aprendizado e o crescimento do número de empregados de muitos tipos de organizações.
Suponha que, com base em dados obtidos em empresas de pequeno porte, o Diretor de Recursos Humanos da Companhia Nacional de Motores (CNM), depois de um estudo estatístico, tenha chegado à conclusão de que, após t anos, a empresa terá N(t) = 10 000.(0,01)^0,5t funcionários (t ≥ 0).

A. Segundo esse estudo, o número inicial de funcionários empregados pela CNM foi de:

B. O número de funcionários que estarão empregados na CNM, após dois anos, será de:

C. Depois de quanto tempo a CNM empregará 1 000 funcionários?

FGV 2008 - 2^a fase

O rendimento de um carro flex (número de quilômetros que percorre com um litro de combustível), que pode ser movido por uma mistura de álcool com gasolina em qualquer proporção, é dado pela função R(x) = K.a^x quilômetros por litro, na qual K e a são números reais positivos e x (0 ≤ x ≤ 1) é a porcentagem de álcool misturado com gasolina.
Sabe-se que, abastecido com 100% de gasolina, o rendimento é de 18 quilômetros por litro e que, com 100% de álcool, cai para 9 quilômetros por litro.
Se, ao iniciar uma viagem, uma pessoa enche o tanque do carro com 50 litros de uma mistura de álcool com gasolina e chega ao seu destino, depois de rodar 600 kg, com o tanque praticamente vazio, qual a porcentagem de álcool na mistura?
Para os cálculos, utilize, se necessário, alguns dos valores da tabela abaixo:

FGV 2010 - 1^a fase

O valor de um carro decresce exponencialmente, de modo que seu valor, daqui a x anos, será dado por V = Ae^-kx, em que e = 2,7182... . Hoje, o carro vale R$ 40 000,00 e daqui a 2 anos valerá R$ 30 000,00.
Nessas condições, o valor do carro daqui a 4 anos será:
 

FGV 2010 - 1^a fase

Adotando o valor 0,30 para log2, a raiz da equação 2^{3x -- 6} = 5^{1 -- x}, arredondada para duas casas decimais, é:

FGV 2010 - 2^a fase

Um fabricante recebeu um estudo feito por uma empresa de consultoria segundo o qual, se x unidades de certa mercadoria forem produzidas e comercializadas, o lucro a ser obtido pelo fabricante pode ser estimado, dentro de certa faixa de valores, pela função: reais, em que e = 2,718... é o número de Euler. O estudo indica também, mediante o gráfico da função lucro, que, se todas as unidades forem vendidas, o lucro máximo esperado é de aproximadamente R$ 5 460,00.

a) Quantas unidades devem ser vendidas para o fabricante obter o maior lucro possível? Se precisar, utilize as aproximações In546 = 6,3; In10 = 2,3.
b) Em determinado mês, o departamento de vendas da fábrica decidiu, por razões comerciais, que deveriam ser produzidas 7 ≤ x ≤ 15 unidades do produto. Quantas unidades, então, deveriam ser produzidas? Por quê?

FGV 2011 - 1^a fase

A sequência de termos positivos (a₁, a₂, a₃, ...a_n, ...) é uma progressão geométrica de razão igual a q. Podemos afirmar que a sequência (log a₁, log a₂, log a₃, ... log a_n...) é:

FGV 2011 - 2^a fase

O serviço de compras via internet tem aumentado cada vez mais. O gráfico ilustra a venda anual de e-books, livros digitais, em milhões de dólares nos Estados Unidos.

Suponha que as vendas anuais em US$ milhões, possa ser estimada por uma função como y = a.e^kx, em que x = 0 representa o ano 2002, x = 1, o ano 2003, e assim por diante; e é o número de Euler.
Assim, por exemplo, em 2002 a venda foi de 7 milhões de dólares.
A partir de que ano a venda de livros digitais nos Estados Unidos vai superar 840 milhões de dólares? Use as seguintes aproximações para estes logaritmos neperianos:
In 2 = 0,7; In 3 = 1,1; In 5 = 1,6.